fungsi linear

FUNGSI LINEAR
NAMA : ALI BANSA SANG ADJI
KELAS : XI AP 6

1. FUNGSI LINEAR ( Fungsi Garis Lurus )
• Adalah fungsi yang memiliki 2 variable atau lebih yang masing-masing variable nilainya saling mempengaruhi.
• Bentuk persamaannya :
y = ax + b

Dimana ;
y = Variable tidak bebas
x = Variable bebas
a dan b = konstanta.
• Ciri-ciri persamaan linear :
1. Apabila a > 0 maka garis akan bergerak dari bawah ke kanan atas.
2. Apabila a < 0 maka garis akan bergerak dari kiri atas ke kanan bawah. 3. Apabila a1 ≠ a2 maka garis akan berpotongan. 4. Apabila a1 = a2 maka garis akan sejajar. 5. titik b merupakan perpotongan pada sumbu y. 6. a disebut juga tan α, a juga berarti menunjukan arah. Rumus umum tan α : a = y2 – y1 x2 – x1 • Contoh soal persamaan linear 1. x 1 2 3 y 9 11 13 a. Tentukan persamaannya ! b. Gambarkan grafiknya ! Jawab : y = ax + b 9 = a + b 9 = a + b 11 = 2a + b _ 11 = 2a + b -2 = -a 13 = 3a + b a = 2 9 = a + b 9 = 2 + b B = 7 Jadi persamaannya y 2x + 7 II. FUNGSI KUADRAT • Bentuk persamaannya y = ax2 + bx + c Dimana ; y = variable tidak tetap x = variable tetap a, b, c = konstanta • Ciri-ciri persamaan kuadrat 1. Jika a positif maka gambar membuka ke atas. 2. jika a negatif maka gambar membuka ke bawah. 3. semakin besar a, maka gambar semakin sempit. 4. semakin kecil a maka gambar semakin lebar 5. titik puncak membelah gambar sama besar 6. titik a merupakan titik potong fungsi dengan sumbu y dimana x = 0 7. titik b dan c merupakan titik potong fungsi dengan sumbu x dimana y = 0 8. Titik p disebut titik puncak 9. jika x = 0 maka c merupakan titik potong dengan sumbu y • Contoh soal x 1 2 3 4 y 8 13 20 29 Tentukan persamaan dan gambarkan ! Jawab : y = ax2 + bx + c 5 = 3a + b x 1 8 = a + b + c 12 = 8a + 2b x 2 13 = 4a + 2b + c 10 = 6a + 2b 20 = 9a + 3b + c 12 = 8a + 2b _ -2 = -2 a a = 1 13 = 4a + 2b + c 8 = a + b + c _ 5 = 3a + b (1) 5 = 3a + b 5 = 3 + b b = 2 20 = 9a + 3b + c 8 = a + b + c _ 12 = 8a + 2b + c (2) 8 = a + b + c 8 = 1 + 2 + c c = 8 – 3 c = 5 Jadi persamaannya adalah y = x2 + 2 x + 5 x -2 -1 0 1 2 y 5 4 5 8 13 Gambar : Nama : Suwanah Kelas : XI AP 6 Nama : Ani Nurul Kelas : XI AP 6 III. PERPOTONGAN GARIS ( Titik Keseimbangan ) • Fungsi kebalikan Rumus umum : x = ay2 + by + c Contoh soal : Carilah titik keseimbangan antara persamaan y = -2x + 50 dengan persamaan y = -x +7 ! Gambarkan ! Jawab : y = -2x + 50 2x = -y + 50 x = -½y + 25 ( D ) x = - ½ y + 25 x 0 25 y 50 0 y = -x + 70 x = -y + 70 ( S ) x = -y + 70 x 0 70 y 70 0 D = S ½ y + 25 = -y + 70 ½ y = 45 y = 90 x = -y + 70 x = -90 + 70 x = -20 titik potong ( -20, 90 ) FUNGSI PERMINTAAN DAN PENAWARAN • Fungsi Permintaan ( D ) Adalah fungsi yang menunjukan hubungan antara jumlah produk yang diminta konsumen pada periode tertentu dan dipengaruhi oleh : 1. Harga produk itu sendiri 2. Pendapatan konsumen 3. Harga produk yang diharapkan pada periode mendatang 4. Harga produk lain yang saling berhubungan 5. Selera konsumen • Fungsi Penawaran ( S ) Adalah fungsi yang menunjukan hubungan antara jumlah produk yang ditawarkan pada periode tertentu dandipengaruhi oleh : 1. Harga produk tersebut 2. Tingkat teknologi yang tersedia 3. Harga dari faktor produksi (input) yang digunakan 4. Harga produk lain yang berhubungan dalam produksi 5. Harapan produsen terhadap harga produk tersebut di masa mendatang • Keseimbangan Pasar ( E ) 1. Keseimbangan pasar satu macam produk Syarat untuk mencapai ini adalah jumlah produk yang diminta oleh konsumen harus sama dengan jumlah prosuk yang ditawarkan oleh produsen ( Qd = Qs ) atau harga produk yang diminta sama dengan produk yang ditawarkan ( Pd = Ps ) Contoh soal : Fungsi permintaan ditunjukan oleh persamaan Qd = 10 – 5p dan fungsi penawarannya adalah Qs = 7 – 2p a. Berapakah harga dan jumlah keseimbangan pasar ? b. Tunjukkan secara geometri ! Jawab : a.) Qd = Qs b.) Gambar keseimbangan pasar 10 – 5 p = 7 – 2p Q 0 10 P 2 0 3p = 3 Q = 10 – 5p P = 1 Q = 10 – 5p Q = 5 Q = 7 – 2p Q 0 10 P 2 0 Harga danjumlah keseimbangan pasar adalah E ( 5,1 ) 2. Keseimbangan pasar dua macam produk Fungsi permintaan dan penawaran dapat perluas menjadi fungsi yang memiliki dua variable bebas yaitu harga produk itu sendiri dan harga produk lain yang saling behubungan. Misalnya ada dua produk x dan y yang saling behubungan dimana; Qdx = Jumlah yang diminta untuk produk x Qdy = Jumlah yang diminta untuk produk y Px = Harga barang x Py = Harga barang y Contoh soal : Diketahui fungsi permintaan dan penawaran dua macam produk yang memiliki hubungan subsitusi : Qdx = 4 – 2Px + Py Qdy = -4 + Px + 5Py Qsx = -8 + 3Px – 5Py Qsy = 5 – Px – Py Carilah keseimbangan pasarnya Jawab : Qdx = Qsx 4 – 2Px + Py = -8 + 3Px – 5Py 12 = 5Px – 6Py ( 1 ) Qdy = Qsy -4 + Px + Py = 5 – Px – Py 9 = 2Px + 6Py ( 2 ) 12 = 5Px – 6Py 9 = 2Px + 6Py + 21 = 7Px Px = 3 9 = 2Px + 6Py 9 = 2 (3) + 6 Py 9 = 6 + 6 Py 6Py = 3 Py = ½ Qdy = -4 + Px + 5Py = 4 – 6 + ½ = -1 ½ • Pengaruh Pajak ( t ) Pada Keseimbangan Pasar Jika sesuatu produk dikenakan pajak oleh pemerintah, maka akan terjadi perubahan keseimbangan atas produk tersebut. Pada produk tertentu akan menyebabkan harga produk tersebut naik karena produsen membebankan sebagian pajak pada konsumen, sehingga jumlah produk yang diminta pun berkurang. Keseimbangan pasar sebelum dan sesudah kena pajak dapat digambarkan sebagai berikut. TG = Pajak total oleh pemerintah = d, b, Et, Pt TK = Pajak yang ditanggung oleh konsumen = Pt, Po, C, Et TP = Pajak yang ditanggung oleh produsen = Po, C, B, d Maka : TK = ( Pt – Po ) Qt TG = t.Qt TP = TG – TK Qt = Jumlah kseimbangan setelah kena pajak. Contoh soal : Diketahui suatu produk ditunjukan fungsi permintaan P = 8 + Q dan fungsi penawaran P = 16 – 2Q. Produk tersebut dikenakan pajak sebesar Rp. 3,-/unit a. berapa harga dan jumlah keseimbangan pasar sebelum dan sesudah pajak ? b. berapa besar penerimaan pajak oleh pemerintah ? c. Berapa besar pajak yang ditanggung kosumen dan produsen ? Jawab ; a. Pd = Ps 7 + Q = 16 – 2Q P = 7 + Q 3Q = 9 P = 7 + 3 Q = 3 P = 10 Jadi keseimbangan pasar sebelum pajak E ( 3,10 ) Pt = 16 – 2Q + t = 16 – 2Q + 3 = 19 – 2Q Pt = Pd 19 – 2Q = 7 + Q 3Q = 12 Q = 4 Pt = 19 – 2Q = 19 – 8 = 11 Jadi keseimbangan pasar setelah pajak E ( 4,11 ) b. TG = t.Qt = 3 . 4 = 12 ( Besarnya penerimaan pajak oleh pemerintah Rp. 12,- ) c. TK = ( Pt – Po ) Qt = ( 11 – 10 ) 4 = 4 ( Besar pajak yang ditanggung konsumen Rp. 4,- ) Tp = TG – TK = 12 – 4 = 8 ( Besar pajak yang ditanggung produsen Rp. 8,- ) • PENGARUH SUBSIDI PADA KESEIMBANGAN PASAR Subsidi ( s ) adalah bantuan yang diberikan pemerintah kepada produsen terhadap produk yang dihasilkan atau dipasarkan, sehingga harga yang berlaku dipasar lebih rendah sesuai dengan keinginan pemerintah dan daya beli masyarakat meningkat. Fungsi penawaran setelah subsidi adalah F ( Q ) = P + S atau P = F ( Q ) – S Contoh Soal ; Permintaan akan suatu komoditas dicerminkan oleh Q = 12 – 2P sedangkan penawarannya Q = -4 + 2P pemerintah memberikan subsidi sebesar Rp. 2,- setiap unit barang. a. berapakah jumlah dan harga keseimbangan sebelum subsidi ? b. berapakah jumlah dan harga keseimbangan sesudah subsidi ? c. berapa bagian dari subsidi untuk konsumen dan produsen ? d. berapa subsidi yang diberikan pemerintah ? Jawab ; a.) Qd = Qs Q = 12 – 2P 12 – 2P = -4 + 2P = 12 – 8 4P = 16 = 4 P = 4 ( Keseimbangan pasar sebelum subsidi So ( 4, 4 ) b.) Qd = 12 – 2P => P = ½ Qd + 6 Pd = Pss
Qs = -4 + 2P => P = ½ Qs + 2 - ½ Q + 6 = ½ Q
Pss = ½ Q + 2 – 2 Q = 6
Pss = ½ Q P = ½ Q
P = 3
( Keseimbangan pasar setelah subsidi Ss ( 6, 3 )
c.) SK = ( Po – Ps ) Qs SP = S – (( Po – Ps ) Qs)
= ( 4 – 3 ) 6 = 12 – (( 4 – 3 ) 6 )
SK = 6 = 12 - 6
SG = Qs . s = 6
= 6 . 2 = 12 ( Besar subsidi untuk produsen Rp. 6,- )
( Besar subsidi untuk konsumen = Rp. 12,- )
d.) Subsidi yang diberikan pemerintah
SG = s . Qs
= 2 . 6
= 12

FUNGSI BIAYA DANFUNGSI PENERIMAAN
1. Fungsi Biaya
a. Biaya tetap ( Fixed Cost )
Sifatnya tidak tergantung pada jumlah barang yang dihasilkan kurvanya berupa garis lurus sejajar garis jumlah.
b. Biaya variable ( Variable Cost )
Tergantung jumlah barang yang dihasilkan. Kurvanya








F . C = K
V . C = f (Q) = VQ
C = g (Q) = F . C = V . C = k + V . Q
2. Fungsi Penerimaan
Penerimaan hasil penjualan merupakan fungsi dari jumlah barang yang terjual. Penerimaan total ( total revenue ) adalah hasil kali jumlah barang yang terjual dengan harga jual perunit.
3. Hukum Analisis Pulang Pokok / BEP / Titik Impas
- Keuntungan profit ( profit positif ) diperoleh jika R > C
- Kerugian ( profit negatif ) diperoleh jika R< C 4. Konsep Analisis Pulang Pokok Keadaan pulang pokok ( profit nol ) terjadi jika R = C. Perusahaan tidak memperoleh keuntungan, namun tidak juga mengalami kerugian. Contoh soal : Andaikan biaya total yang dikeluarkan perusahaan ditunjukan oleh persamaan C = 20000 + 100Q dan penerimaan totalnya R = 200 Q. Pada tingkat berapa perusahaan mengalami pulang pokok ? apa yang terjadi jika perusahaan memproduksi 150 unit ? Jawab ; C = 20.000 + 100Q Jika Q = 150 R = 200Q C = 20000 + 100Q R = C C = 20000 + 100 ( 150 ) 300Q = 20000 + 100Q C = 20000 + 15000 200Q = 20000 C = 35000 Q = 100 R = 200Q R = 30000 ( Perusahaan mengalami kerugian karena R < C ) DERET • DERET HITUNG Adalah deret yang perubahan sukunya berdasarkan penjumlahan terhdap bilangan tertentu. Bilangan yang membedakan disebut pembeda * Suku ke-n Sn = a + ( n – 1 ) B Dimana ; Sn = Suku ke-n a = Suku pertama ( S1 ) B = pembeda n = Indeks suku * Jumlah n suku Adalah jumlah deret hitung sampai denga suku tertentu Un = n ( 2a + ( n – 1 ) B ) 2 Un = Jumlah suku ke-n Contoh soal : 5, 9, 13, 17 . . . . . . . . . . a. berapakah nilai suku ke-17 dan 21 ? b. berapakah nilai jumlahnya sampai suku ke-17 Jawab ; a. Sn = a + ( n – 1 ) B S17 = 5 + ( 17 – 1 ) 4 S21 = 5 + ( 21 – 1 ) 4 = 5 + 72 = 5 + 80 = 77 = 85 b. Un = n ( 2a + ( n – 1 ) B ) 2 U17 = 17/2 ( 2 (5) + ( 17 – 1 ) 4 ) = 17/2 ( 10 + 72 ) = 17/2 ( 82 ) = 697 • DERET UKUR Adalah deret yang perubahan sukunya berdasarkan perkalian bilangan tertentu. Bilangan yang membedakan disebut pengganda. * Suku ke-n Sn = a . P n-1 Dimana ; a = suku pertama P = pengganda * Jumlah n suku Adalah jumlah nilai suku-sukunya sejak suku pertama sampai dengan suku ke-n Jn = a ( 1 – Pn ) Jn = a ( 1 – Pn ) 1 – p P – 1 Untuk P < 1 Untuk P > 1
Contoh soal :
4, 8, 16, 32 . . . . . . . . .
Berapa nilai ke-5 dan berapa jumlah sampai dengan suku ke-5 ?
Jawab ;
Sn = a . P n-1 P > 1
P = 2 Jn = a (Pn – 1 )
S5 = 4 . 2 5-1 P – 1
= 4 . 2 4 J5 = 4 ( 25 – 1 )
S5 = 4 . 16 2 – 1
S5 = 64 = 4 ( 32 – 1 )
1
= 4 . 31
J5 = 124
• MAKSIMUM DAN MINIMUM FUNGSI
Contoh soal :
y = 2x3 – 3x2 – 12x + 24
Tentukan nilai maksimum dan minimum serta titik beloknya.
Jawab ;
y = 2x3 – 3x2 – 12x + 24
y’ = 6x2 – 6x + 12
y = 0
6x2 – 6x + 12 : 6
x2 – x + 2
( x -2 ) ( x + 1 )
x = 2 x = -1
x ( -1 ) = 2x3 – 3x2 – 12x + 24
= 2(-1)3 – 3(-1)2 – 12(-1) + 24
= -2 – 3 + 12 + 24
= 31
x (-1); x = 0 y = 24
x (-1); x = -2 y = -16 – 12 – 24 + 24
= 20
x = 2 y = 16 – 12 – 24 + 24
= 4
x > 2; x = 3 y = 54 – 27 – 36 + 24
= 15
x < 2; x = 1 y = 2 – 3 – 12 + 24
= 11







• TITIK BELOK
Dimana fungsi membelok kearah cekungan yang berlawanan. Syaratnya y’’ = 0
Contoh soal :
y = 2x3 – 3x2 – 12x + 24
y’ = -6x2 – 6x – 12
y’’ = 12x -6
y’’ = 0
12x -6 = 0
12x = 6
x = 2


y = 2x3 – 3x2 – 12x + 24
= 16 – 12 – 24 + 24
= 4.